“好吧,口误,”尼欧倒是完全不在意那么多,“最后裂开梦子身体的,应该是一个同胚但不微分同胚的四维流形。”
“好险,好险啊。”就在众人稍稍释然之际,这片空间之中,却是再次响起了梦子诡异的声音。“幸好我的身体也早就‘升维’了,所以才躲过一劫呢。”
不该出现的梦子的声音飘荡在这片空间之中,众人的视线不约而同地落到了地面上那一滩“血迹和肉酱混合物”之上,但是很快,众人发现,这一滩贴在地上的“肉饼”,居然在缓缓地蠕动着。
“这……这是梦子?”夏雪有些作呕地捂住了自已的嘴巴,连连后退了两步。
“是的哦,就是我哦。”变成肉饼的梦子在地面上以怪诞的姿势蠕动着。
“你……你居然没死?”解不语捏了一把冷汗,表情变得沉凝起来。
“是哦,因为我也‘升维’了嘛。”梦子用轻松活泼的语调说道。
“升维?”夏云和夏雪姐妹的表情变得古怪起来。
“是哦,既然你们一时间想不明白,我就解释下啦。”梦子说道,下一刻,半空中又浮现出了一长串的公式:
假设我们以(详见作者有话说)为原点中心,以为各个维度的半径的n维椭球体,就可以对这个椭球体空间定义空间测度。
为方便构建n维椭球测度的递推关系式,进行如下定积分的计算:
(详见作者有话说)
根据分部积分法可得:
(详见作者有话说)
其中简化为
(详见作者有话说)
之后计算n维椭球体的测度:
用数学归纳法,假设n维椭球体的测度为(详见作者有话说) ,其中(详见作者有话说)为待定系数。若将(详见作者有话说) 赋值为常数(详见作者有话说),则得到 (详见作者有话说)的子空间
(详见作者有话说)
则子空间(详见作者有话说)的测度为
(详见作者有话说)
根据定义,(详见作者有话说)的测度就是子空间 (详见作者有话说) 测度对(详见作者有话说) 范围的积分
(详见作者有话说)
所以(详见作者有话说),故在n=1的1维情况下,(详见作者有话说)的测度为(详见作者有话说),(详见作者有话说) 。则(详见作者有话说),然后再用(详见作者有话说)函数的一个特殊值(详见作者有话说),还能进一步化简为 (详见作者有话说),于是n维椭球体的体积为(详见作者有话说)。
接下来进一步计算n维椭球体(详见作者有话说)的表面积(n-1维测度),先选择向量基为正交的,即 (详见作者有话说),则取基 (详见作者有话说)生成(详见作者有话说)边界的切空间,则切空间的向量基为:
(详见作者有话说)
切空间的余向量为
(详见作者有话说)
它的模就是表面积元,即(详见作者有话说)。
定义算子(详见作者有话说),根据上半部分表面积(详见作者有话说)的定义则有(详见作者有话说)
根据验证,(详见作者有话说)就是(详见作者有话说)的极大子空间,之后计算n维球体的表面积。
若(详见作者有话说)是n维球体,则(详见作者有话说) ,则上述表达式退化为(详见作者有话说)
实际上 (详见作者有话说)为n-2维椭球体的测度,则代入公式得:(详见作者有话说)
根据(详见作者有话说)定义只是n维球的上半部分,故n维球的表面积为:
(详见作者有话说)
顿了顿,变成了一滩肉酱的梦子说出了总结性的话语道:
“直观得出的结论,就是随着维度的升高,物体——比如一个球的表面积或者体积总是越来越集中地分布在赤道上的,而远离赤道的部分,则基本都是‘空’的。这也是为什么你们看到变成一滩肉酱的我还能活的好好的原因。因为我的体积都分布到了身体的‘赤道’上。”
“高维度生命体……这个梦子,居然让自已的身体变成了高维度生命体?”
“那可不是哦。”梦子懒洋洋地道,“难道你们忘了吗,你们创造的这个空间是拥有着算法复制能力的,因此,解不语先生在制造出四维空间的同时,我也利用了这片空间的算法复制能力,让自已的身体顺便变成了四维物体而已。呼,说来还真是压抑呢,难受死了。还是恢复成三维生命体比较舒服。”